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函数值域的求法：
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①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
定义域和值域计算方法：
设x、y是两个变量，变量x的变化范围为D，如果对于每一个数x∈D，变量y遵照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域。
设A，B是两个非空数集，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。记作y=f（x），x∈A，或y=g（t），t∈A，其中A就叫做定义域。通常，用字母D表示。通常定义域是F(X)中x的取值范围。
其主要根据为：
1、分式的分母不能为零。
2、偶次方根的被开方数不小于零。
3、对数函数的真数必须大于零。
4、指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1。
求函数值域的方法
1.图像法
根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。
2.配方法
利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。
3.单调性法
利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。
4.反函数法
若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。
5.换元法
包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。
6.判别式法
判别式法即利用二次函数的判别式求值域。
7.复合函数法
设复合函数为f[g(x)，]g(x)为内层函数,为了求出f的值域，先求出g(x)的值域,然后把g(x)看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据f(x)函数的性质求出其值域；
8.不等式法
基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。
9.化归法
用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
10.分离常数法
把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。
一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
注：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
二．反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
注：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
注：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
九．构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
十一．利用多项式的除法
例：求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
注：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
十二．不等式法
注：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
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（1）确定函数的定义域；
（2）分析解析式的特点；
（3）将端点值与极值比较，求出最大值与最小值；
（4）计算出函数的值域。
求函数值域的常用方法有：
一、配方法
二、反解法
三、分离常数法
四、判别式法
五、换元法
六、不等式法
七、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
八、函数单调性法
先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。
九、数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
十、导数法
利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：(1)求导，令导数为0；(2)确定极值点，求极值；(3)比较端点与极值的大小，确定最大值与最小值即可确定值域。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}
常见函数值域:
y=kx+b (k≠0)的值域为R
y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
y=√x的值域为x≥0
y=ax^2+bx+c 当a0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ;
当a0时，值域为(-∞，4ac-b^2/4a]
y=a^x 的值域为 (0,+∞)
y=lgx的值域为R
扩展资料
在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。
把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*求解，把的解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法;
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1). 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1,y=6 注意:换元后勿忘还原。
利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域;
参考资料：值域的百度百科
（手机不好打符号，所以下文中“x的a次方”均用“x^a”表示，“x分之一”用“x^(-1)”表示”，“根号x”用“x^(1/2)”表示。）
（可能有些乱，不妨看的同时转化在纸上写出来清楚些～。）
常见求值域的方法有：
1.配方法（常用于二次函数）。
即将二次函数整理成形如y=a(x-h)^2+b，若a0则值域为[b,正无穷)，若a0则值域为(负无穷,b]。
2.换元法。
将复杂的函数通过换元转化为熟悉函数的形式。如y=4^x+2^x+3，可以设t=2^x，所以原函数就可以转化为y=t^2+t+3，求其值域。
3.基本不等式法。
先对函数变形，使之具备“一正二定三等”的条件后，再用基本不等式求出值域。如形如函数y=ax+bx^(-1)。
4.利用函数的单调性。
5.分离常数法。
6.数形结合法。
例题：求函数y=(x^2-2x+5)^(1/2)+(x^2+2x+5)^(1/2)的值域
解题思路：原函数整理后可化为y=[(x-1)^2+(0-2)^2]^(1/2)+[(x+1)^2+(0-2)^2]^(1/2)。设P点坐标为(x,0)，A点坐标为(1,2)，B点坐标为(-1,2)，则函数y则可以理解为PA,PB两线段和即y=|PA|+|PB|，再结合图像坐标………
7.导数法。
先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域和最值。
（有的地方就不展开了，还有不明白的可以追问w。）
