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给定n个m维样本X(1), X(2),…,X(n)，假设我们的目标是将这n个样本从m维降低到k维，并且尽可能保证这种降维的操作不会产生很大的代价（重要信息的丢失）。换句话说，我们要把n个样本点从m维空间投影到k维空间。对于每一个样本点，我们都可以用下式表示此投影过程：
Z=ATX (1)
其中X是m维样本点， Z是投影后得到的k维样本点，A是一个 m * k 的矩阵。
回顾一下，如果采用主成分分析法(PCA)来进行降维的话，我们首先求出样本的均值：
再求出散布矩阵(scatter matrix)：
(2)
例子:为了更直观地从几何上理解式(1)的含义，我们以一组2维数据作为例子，在这个例子当中，我们使用PCA的方法将这组2维数组降到1维。矩阵A所存储的这些特征向量，实际上降维后的是新坐标轴，而在这个例子当中，我们得到的是一个新的1维坐标轴。如图1所示，图中的红色叉点代表2维样本点垂直投影到这个新坐标轴上的点。对于每一个2维空间上的样本点X，只要我们将它代入式(1)就可以计算出其降维后的表达(在这个例当中，则是一个1维的向量，即一个值)：
图1 10个样本点在2维空间上的表达
而式(3)算出来的这个值，实际上是这些投影点离原点的距离。因此，我们可以画出一个数轴来表示这个新的坐标轴，再根据式(3)算出来的这些值，在数轴上标出它们的位置，如图2所示。
(4)
为了理解式(4)，我们首先需要理解AATX(i)。回顾刚刚所说的，计算ATX(i)所得到的，实际上是样本点在低维空间上的表达（参考图2）。相对而言，X(i)是样本点在高维空间上的表达。然而，我们知道不同纬度空间的点是无法做比较的，举例来说，一个在2维空间上的点(x1, x2)是无法跟一个在1维空间上(y1)的点做比较的，因为它们纬度不一样(它们的所存在的世界不一样，它们不在同一个世界里）。
为了对2个不同纬度的样本点作比较，我们需要将它们放在同一个纬度空间下。一种合理的做法是，将低维空间上的点投影到高维空间，并假设高纬度的值为0。AATX(i)所做的工作就是把降维后的样本点反投影到高维空间上。以刚刚所举的例子来说，ATX(i)是图2上的叉点，而AATX(i)实际上是图1中直线(新坐标轴)上的叉点。
值得注意的是，图2和图1上的这些叉点是一一对应的，无论在高维空间上还是在低维空间上，它们离原点的距离是不变的(仔细观察图1和图2中叉点离原点的距离)。我们仍然可以围绕这个例子，从理论上证明这一点，首先假设其中一个样本点 X降维后的表达为 Z=[s1x1+s2x2]，那么对它从低维到高维(在此例中，是从1维到2维)的反向投影为：
由于s经过单位化，即||s||=s12+s22=1，所以||Xapproax||=(s1x1+s2x2)2=||Z||，证毕.
证明②：
首先要得到超平面的一般表达式，而要得到超平面的一般表达式，就要计算出超平面所对应的法向量n，在此例中，法向量满足nTs=0，其中sT=[s1, s2]。我们可以得到n=[-s2/s1, 1]，则超平面的一般表达式为(-s2/s1)x1+x2=0。将XapproxT=[s1(s1x1+s2x2), s2(s1x1+s2x2)]代入(-s2/s1)x1+x2，得到(-s2/s1)*s1(s1x1+s2x2)+s2(s1x1+s2x2)=-s2(s1x1+s2x2)+s2(s1x1+s2x2)=0，说对于任意的Xapprox，都在超平面上，证毕.
回到式(4)当中，L所计算的是每个样本点在高维空间投影到低维空间后的距离总和。
到此，相信大家对“PCA中的误差表示方法是什么”有了更深的了解，不妨来实际操作一番吧！这里是创新互联网站，更多相关内容可以进入相关频道进行查询，关注我们，继续学习！
