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一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。
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目录
反比例函数定义
反比例函数表达式
自变量的取值范围
反比例函数图象
k的意义及应用
反比例函数性质单调性
相交性
面积
图像
对称性
与正比例函数交点
反比例函数的应用举例
画法
典型题目反比例函数定义
反比例函数表达式
自变量的取值范围
反比例函数图象
k的意义及应用
反比例函数性质 单调性
相交性
面积
图像
对称性
与正比例函数交点
反比例函数的应用举例
画法
典型题目展开 编辑本段反比例函数定义
函数y=k/x（k为常数且k≠0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。
编辑本段反比例函数表达式
X是自变量，Y是X的函数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） （即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方） y=k\x(k为常数且k≠0，x≠0） 若y=k/nx此时比例系数为：k/n
编辑本段自变量的取值范围
① k ≠ 0； ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数；③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。 解析式 y=k/x 其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）
编辑本段反比例函数图象
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
编辑本段k的意义及应用
过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积 S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k| 研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。 所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
编辑本段反比例函数性质
单调性
当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。 k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。
相交性
因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
面积
在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K| 反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|
图像
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 反比例函数图像不与x轴和y轴相交。y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。 图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。
与正比例函数交点
设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
编辑本段反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式． 分析： 要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程． 解：∵ m, n是关于t的方程t^2+3t+k=0的两根 ∴ m+n=-3，mn=k, 又 PO=根号13， 反比例函数图象
∴m^2+n^2=13， ∴(m+n^2-2mn=13， ∴ 9-2k=13． ∴ k=-2 当 k=-2时，△=9+20， ∴ k=-2符合条件， 【例2】直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求： （1）求双曲线的解析式 分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段， 设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|， 根据矩形的面积公式知|m·n|=6.
编辑本段画法
1）列表 如 x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ...
y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ...
2)在平面直角坐标系中标出点 3）用平滑的曲线描出点 常见画法
1.当双曲线在一三象限，K0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。与X及Y轴无交点。 2.当双曲线在二四象限，K0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。与X及Y轴无交点。 当两个数相等时那么呈弯月型。
编辑本段典型题目
1、已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k≠0） （1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？ （2）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。 解（1）一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k不等于零）有两个交点，即 -x+6=k/x 化简的x^2-6x+k=0 有两个交点 则方程有两个不同的解 即6^2-4k0 所以k9且k不等于0 （2）当0k9时 两交点在第一象限所以∠AOB是锐角 当k0时 两交点分别在第二和第四象限所以∠AOB是钝角 2、已知函数y=(m-1)x^(m^2-m-1). （1）当m为何值时，y是x的正比例函数? （2）当m为何值时，y是x 的反比例函数？ 解（1）正比例函数则x次数是1 m^2-m-1=1 (m-2)(m+1)=0 m=2,m=-1 系数不等于0 m-1≠0 所以m=2,m=-1 （2）反比例函数则x次数是-1 m^2-m-1=-1 m(m-1)=0 m=0,m=1 系数不等于0 m-1≠0 所以m=0 3、一矩形的面积为24cm^2，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。 解 面积x*y=24 函数表达式y=24/x(0x) 矩形的各边长均为整数 可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线,反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。表达式为：x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
函数y=k/x（k为常数，x不等于0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数值自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数表达式 y＝k／x 其中X是自变量，Y是X的函数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） （即：y等于x的负壹次方） y=k\x(k为常数且k≠0），x≠0） 编辑本段反比例函数的自变量的取值范围 ① k ≠ 0; ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数 ; ③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。 编辑本段反比例函数图象 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）, 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 编辑本段反比例函数性质 1.当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则nsup2+4k·m≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 编辑本段反比例函数的应用举例 【例1】反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式． 分析： 要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程． 解： ∵ m, n是关于t的方程t2+3t+k=0的两根 ∴ m+n=-3，mn=k, 又 PO=根号13， ∴m2+n2=13， ∴（m+n）2-2mn=13， ∴ 9-2k=13． ∴ k=-2 当 k=-2时，△=9+2＞0， ∴ k=-2符合条件， 【例2】直线 与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求： （1）直线与双曲线的解析式； （2）点A、A1的坐标. 分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段， 设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|， 根据矩形的面积公式知|m·n|=6. 编辑本段反比例函数的画法 1）列表 如 x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ... y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ... 2)在平面直角坐标系中标出点 3）用平滑的曲线描出点 常见画法 1.当双曲线在一三象限，K＞0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。与X及Y轴无交点。 2.当双曲线在二四象限，K＜0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。与X及Y轴无交点。 编辑本段典型题目 已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k不等于零） 1.k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？ 2.当图像有两个焦点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。 （1）一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k不等于零）有两个交点，即 -x+6=k/x 化简的x²-6x+k=0 有两个交点 则方程有两个不同的解 即6²-4k0 所以k9且k不等于0 （2）当0k9时 两交点在第一象限 所以∠AOB是锐角 当k0时 两交点分别在第二和第四象限 所以∠AOB是钝角 已知函数y=(m-1)x^m^2-m-1. （1）当m为何值时，y是x的正比例函数? （2）当m为何值时，y是x 的反比例函数？ 一矩形的面积为24cm^2，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形. 1、 正比例函数则x次数是1 m²-m-1=1 (m-2)(m+1)=0 m=2,m=-1 系数不等于0 m-1≠0 所以m=2,m=-1 2、 反比例函数则x次数是-1 m²-m-1=-1 m(m-1)=0 m=0,m=1 系数不等于0 m-1≠0 所以m=0 周长2(x+y)=24 x+y=12 y=-x+12,且0x12 可以取x=1到11，
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一般地，形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数
形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数.
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
反比例函数的图像为双曲线.
当K＞0时,反比例函数图象经过一,三象限,是减函数
当K＜0时,反比例函数图象经过二,四象限,是增函数
