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设函数y=f(x）根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y)，然后再将这个函数中的X，Y互换，如果得到的函数与另一函数一样，则两个函数互为反函数。
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但要注意的是，这两个函数必须都是单调的，且一个函数的定义域是另一个函数的值域。
一.
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f-1（x）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)
【反函数的性质】
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；
（2）函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
(5)一切隐函数具有反函数；
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。
（8）反函数是相互的
（9）定义域、值域相反对应法则互逆
（10）不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方
例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2
x
例题：求函数3x-2的反函数
解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=1/3(x+2)
判断函数有没有反函数的方法：只要是一一映射就有反函数。
也就是说，只要原函数一个y对应且仅对应一个x，这个函数就有反函数。
例如：
例1：一次函数
y=kx+b
有反函数。因为一个y对应一个x。
例2：二次函数
y
=y=x²没有反函数，
y=x²
当y=1时，x=1或-1，y对应2个x。不是一一映射。
反函数 一般地,如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应,y=f（x）.则y=f（x）的反函数为y= f ‘（x）.
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)
【反函数的性质】
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；
（2）函数存在反函数的必要条件是,函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）.奇函数不一定存在反函数.被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.
(5)一切隐函数具有反函数；
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】.
（8）反函数是相互的
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）
(10)原函数一旦确定,反函数即确定（三定）
例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x
例题：求函数3x-2的反函数
y=3x-2的定义域为R,值域为R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=1/3(x+2)（x属于R）
（11）反函数的导数关系：如果X=F(X）在区间I上单调,可导,且F‘（Y）不等于0,那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导,且[F‘（X)]'=1\F’（Y）.
[编辑本段]⒈ 反函数的定义
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= f(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x= f(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= f(y)就表示y是自变量,x是因变量y的函数,这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f‘(y).反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
说明：⑴在函数x=f’(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y,把它改写成y=f’(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.
⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义.从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x),那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数.
⑶从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f’(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f’(x)的定义域（如下表）：
函数y=f(x) 反函数y=f’(x)
定义域 A C
值 域 C A
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f’(x)就叫做函数y=f(x)的反函数.反函数x=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f’(t)=t/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为：f‘(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论,如：f(x)=X+1/X,需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况,X小于0的情况,多是要注意的.一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
反函数的应用：
直接求原函数的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域,求反函数的步骤是这样的
1.先求出反函数的定义域,因为原函数的值域就是反函数的定义域
（我们知道函数的三要素是定义域,值域,对应法则,所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）
2.反解x,也就是用y来表示x
3.改写,交换位置,也就是把x改成y,把y改成x
4.写出原函数及其值域
只要是一一映射就有反函数
换句话说，只要原函数一个y对应且仅对应一个x
判断函数是否为严格单调函数，严格单调函数一定具有反函数。判断严格单调可以用
函数定义的实质：对自变量x的每一个取值，都有唯一的函数值y与之对应。因此，判断是否是函数关系时，多对一，一对一，这都是函数，但一对多，就违背了函数定义。1、存在反函数的函数，一定是一对一的，即一一对应关系。2、作图法，判断函数，在图像上竖着画直线（即任意画一条与y轴平行的直线），与图像至多一个交点，则是函数；判断是否存在反函数，在原函数图像上横着画直线（即任意画一条与x轴平行的直线），与图像至多一个交点，则原函数存在反函数。否则不存在反函数。3、解析法，在求反函数时，解析式不唯一，通常是不能确定正负，则反函数不存在。4、单调性法，在定义域内存在反函数的函数一定是单调的。
