常见损失函数python的简单介绍

常见损失函数用法

损失函数（loss function）又叫做代价函数（cost function），是用来评估模型的预测值与真实值不一致的程度，也是神经网络中优化的目标函数，神经网络训练或者优化的过程就是最小化损失函数的过程，损失函数越小，说明模型的预测值就越接近真是值，模型的健壮性也就越好。

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常见的损失函数有以下几种：

0-1损失函数是最为简单的一种损失函数，多适用于分类问题中，如果预测值与目标值不相等，说明预测错误，输出值为1；如果预测值与目标值相同，说明预测正确，输出为0，言外之意没有损失。其数学公式可表示为：

由于0-1损失函数过于理想化、严格化，且数学性质不是很好，难以优化，所以在实际问题中，我们经常会用以下的损失函数进行代替。

感知损失函数是对0-1损失函数的改进，它并不会像0-1损失函数那样严格，哪怕预测值为0.99，真实值为1，都会认为是错误的；而是给一个误差区间，只要在误差区间内，就认为是正确的。其数学公式可表示为：

顾名思义，平方损失函数是指预测值与真实值差值的平方。损失越大，说明预测值与真实值的差值越大。平方损失函数多用于线性回归任务中，其数学公式为：

接下来，我们延伸到样本个数为N的情况，此时的平方损失函数为：

Hinge损失函数通常适用于二分类的场景中，可以用来解决间隔最大化的问题，常应用于著名的SVM算法中。其数学公式为：

其中在上式中，t是目标值{-1，+1}，y为预测值的输出，取值范围在（-1，1）之间。

对数损失函数也是常见的一种损失函数，常用于逻辑回归问题中，其标准形式为：

上式中，y为已知分类的类别，x为样本值，我们需要让概率p(y|x)达到最大值，也就是说我们要求一个参数值，使得输出的目前这组数据的概率值最大。因为概率P(Y|X)的取值范围为[0,1]，log(x)函数在区间[0,1]的取值为负数，所以为了保证损失值为正数要在log函数前加负号。

交叉熵损失函数本质上也是一种对数损失函数，常用于多分类问题中。其数学公式为：

注意：公式中的x表示样本，y代表预测的输出，a为实际输出，n表示样本总数量。交叉熵损失函数常用于当sigmoid函数作为激活函数的情景，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题。

原文参见

用python实现红酒数据集的ID3,C4.5和CART算法？

ID3算法介绍

ID3算法全称为迭代二叉树3代算法（Iterative Dichotomiser 3）

该算法要先进行特征选择，再生成决策树，其中特征选择是基于“信息增益”最大的原则进行的。

但由于决策树完全基于训练集生成的，有可能对训练集过于“依赖”，即产生过拟合现象。因此在生成决策树后，需要对决策树进行剪枝。剪枝有两种形式，分别为前剪枝（Pre-Pruning）和后剪枝（Post-Pruning），一般采用后剪枝。

信息熵、条件熵和信息增益

信息熵：来自于香农定理，表示信息集合所含信息的平均不确定性。信息熵越大，表示不确定性越大，所含的信息量也就越大。

设x 1 , x 2 , x 3 , . . . x n {x_1, x_2, x_3, ...x_n}x

,...x

为信息集合X的n个取值，则x i x_ix

的概率：

P ( X = i ) = p i , i = 1 , 2 , 3 , . . . , n P(X=i) = p_i, i=1,2,3,...,n

P(X=i)=p

,i=1,2,3,...,n

信息集合X的信息熵为：

H ( X ) = − ∑ i = 1 n p i log ⁡ p i H(X) =- \sum_{i=1}^{n}{p_i}\log{p_i}

H(X)=−

i=1

∑

logp

条件熵：指已知某个随机变量的情况下，信息集合的信息熵。

设信息集合X中有y 1 , y 2 , y 3 , . . . y m {y_1, y_2, y_3, ...y_m}y

,...y

组成的随机变量集合Y，则随机变量（X，Y）的联合概率分布为

P ( x = i , y = j ) = p i j P(x=i,y=j) = p_{ij}

P(x=i,y=j)=p

条件熵：

H ( X ∣ Y ) = ∑ j = 1 m p ( y j ) H ( X ∣ y j ) H(X|Y) = \sum_{j=1}^m{p(y_j)H(X|y_j)}

H(X∣Y)=

j=1

∑

p(y

)H(X∣y

)

由

H ( X ∣ y j ) = − ∑ j = 1 m p ( y j ) ∑ i = 1 n p ( x i ∣ y j ) log ⁡ p ( x i ∣ y j ) H(X|y_j) = - \sum_{j=1}^m{p(y_j)}\sum_{i=1}^n{p(x_i|y_j)}\log{p(x_i|y_j)}

H(X∣y

)=−

j=1

∑

p(y

)

i=1

∑

p(x

∣y

)logp(x

∣y

)

和贝叶斯公式：

p ( x i y j ) = p ( x i ∣ y j ) p ( y j ) p(x_iy_j) = p(x_i|y_j)p(y_j)

p(x

)=p(x

∣y

)p(y

)

可以化简条件熵的计算公式为:

H ( X ∣ Y ) = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n p ( x i , y j ) log ⁡ p ( x i ) p ( x i , y j ) H(X|Y) = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n{p(x_i, y_j)\log\frac{p(x_i)}{p(x_i, y_j)}}

H(X∣Y)=

j=1

∑

i=1

∑

p(x

)log

p(x

)

p(x

)

信息增益：信息熵-条件熵，用于衡量在知道已知随机变量后，信息不确定性减小越大。

d ( X , Y ) = H ( X ) − H ( X ∣ Y ) d(X,Y) = H(X) - H(X|Y)

d(X,Y)=H(X)−H(X∣Y)

python代码实现

import numpy as np

import math

def calShannonEnt(dataSet):

""" 计算信息熵 """

labelCountDict = {}

for d in dataSet:

label = d[-1]

if label not in labelCountDict.keys():

labelCountDict[label] = 1

else:

labelCountDict[label] += 1

entropy = 0.0

for l, c in labelCountDict.items():

p = 1.0 * c / len(dataSet)

entropy -= p * math.log(p, 2)

return entropy

def filterSubDataSet(dataSet, colIndex, value):

"""返回colIndex特征列label等于value，并且过滤掉改特征列的数据集"""

subDataSetList = []

for r in dataSet:

if r[colIndex] == value:

newR = r[:colIndex]

newR = np.append(newR, (r[colIndex + 1:]))

subDataSetList.append(newR)

return np.array(subDataSetList)

def chooseFeature(dataSet):

""" 通过计算信息增益选择最合适的特征"""

featureNum = dataSet.shape[1] - 1

entropy = calShannonEnt(dataSet)

bestInfoGain = 0.0

bestFeatureIndex = -1

for i in range(featureNum):

uniqueValues = np.unique(dataSet[:, i])

condition_entropy = 0.0

for v in uniqueValues: #计算条件熵

subDataSet = filterSubDataSet(dataSet, i, v)

p = 1.0 * len(subDataSet) / len(dataSet)

condition_entropy += p * calShannonEnt(subDataSet)

infoGain = entropy - condition_entropy #计算信息增益

if infoGain = bestInfoGain: #选择最大信息增益

bestInfoGain = infoGain

bestFeatureIndex = i

return bestFeatureIndex

def creatDecisionTree(dataSet, featNames):

""" 通过训练集生成决策树 """

featureName = featNames[:] # 拷贝featNames，此处不能直接用赋值操作，否则新变量会指向旧变量的地址

classList = list(dataSet[:, -1])

if len(set(classList)) == 1: # 只有一个类别

return classList[0]

if dataSet.shape[1] == 1: #当所有特征属性都利用完仍然无法判断样本属于哪一类，此时归为该数据集中数量最多的那一类

return max(set(classList), key=classList.count)

bestFeatureIndex = chooseFeature(dataSet) #选择特征

bestFeatureName = featNames[bestFeatureIndex]

del featureName[bestFeatureIndex] #移除已选特征列

decisionTree = {bestFeatureName: {}}

featureValueUnique = sorted(set(dataSet[:, bestFeatureIndex])) #已选特征列所包含的类别，通过递归生成决策树

for v in featureValueUnique:

copyFeatureName = featureName[:]

subDataSet = filterSubDataSet(dataSet, bestFeatureIndex, v)

decisionTree[bestFeatureName][v] = creatDecisionTree(subDataSet, copyFeatureName)

return decisionTree

def classify(decisionTree, featnames, featList):

""" 使用训练所得的决策树进行分类 """

classLabel = None

root = decisionTree.keys()[0]

firstGenDict = decisionTree[root]

featIndex = featnames.index(root)

for k in firstGenDict.keys():

if featList[featIndex] == k:

if isinstance(firstGenDict[k], dict): #若子节点仍是树，则递归查找

classLabel = classify(firstGenDict[k], featnames, featList)

else:

classLabel = firstGenDict[k]

return classLabel

下面用鸢尾花数据集对该算法进行测试。由于ID3算法只能用于标称型数据，因此用在对连续型的数值数据上时，还需要对数据进行离散化，离散化的方法稍后说明，此处为了简化，先使用每一种特征所有连续性数值的中值作为分界点，小于中值的标记为1，大于中值的标记为0。训练1000次，统计准确率均值。

from sklearn import datasets

from sklearn.model_selection import train_test_split

iris = datasets.load_iris()

data = np.c_[iris.data, iris.target]

scoreL = []

for i in range(1000): #对该过程进行10000次

trainData, testData = train_test_split(data) #区分测试集和训练集

featNames = iris.feature_names[:]

for i in range(trainData.shape[1] - 1): #对训练集每个特征，以中值为分界点进行离散化

splitPoint = np.mean(trainData[:, i])

featNames[i] = featNames[i]+'='+'{:.3f}'.format(splitPoint)

trainData[:, i] = [1 if x = splitPoint else 0 for x in trainData[:, i]]

testData[:, i] = [1 if x = splitPoint else 0 for x in testData[:, i]]

decisionTree = creatDecisionTree(trainData, featNames)

classifyLable = [classify(decisionTree, featNames, td) for td in testData]

scoreL.append(1.0 * sum(classifyLable == testData[:, -1]) / len(classifyLable))

print 'score: ', np.mean(scoreL)

输出结果为：score: 0.7335，即准确率有73%。每次训练和预测的准确率分布如下：

数据离散化

然而，在上例中对特征值离散化的划分点实际上过于“野蛮”，此处介绍一种通过信息增益最大的标准来对数据进行离散化。原理很简单，当信息增益最大时，说明用该点划分能最大程度降低数据集的不确定性。

具体步骤如下：

对每个特征所包含的数值型特征值排序

对相邻两个特征值取均值，这些均值就是待选的划分点

用每一个待选点把该特征的特征值划分成两类，小于该特征点置为1，大于该特征点置为0，计算此时的条件熵，并计算出信息增益

选择信息使信息增益最大的划分点进行特征离散化

实现代码如下：

def filterRawData(dataSet, colIndex, value, tag):

""" 用于把每个特征的连续值按照区分点分成两类，加入tag参数，可用于标记筛选的是哪一部分数据"""

filterDataList = []

for r in dataSet:

if (tag and r[colIndex] = value) or ((not tag) and r[colIndex] value):

newR = r[:colIndex]

newR = np.append(newR, (r[colIndex + 1:]))

filterDataList.append(newR)

return np.array(filterDataList)

def dataDiscretization(dataSet, featName):

""" 对数据每个特征的数值型特征值进行离散化 """

featureNum = dataSet.shape[1] - 1

entropy = calShannonEnt(dataSet)

for featIndex in range(featureNum): #对于每一个特征

uniqueValues = sorted(np.unique(dataSet[:, featIndex]))

meanPoint = []

for i in range(len(uniqueValues) - 1): # 求出相邻两个值的平均值

meanPoint.append(float(uniqueValues[i+1] + uniqueValues[i]) / 2.0)

bestInfoGain = 0.0

bestMeanPoint = -1

for mp in meanPoint: #对于每个划分点

subEntropy = 0.0 #计算该划分点的信息熵

for tag in range(2): #分别划分为两类

subDataSet = filterRawData(dataSet, featIndex, mp, tag)

p = 1.0 * len(subDataSet) / len(dataSet)

subEntropy += p * calShannonEnt(subDataSet)

## 计算信息增益

infoGain = entropy - subEntropy

## 选择最大信息增益

if infoGain = bestInfoGain:

bestInfoGain = infoGain

bestMeanPoint = mp

featName[featIndex] = featName[featIndex] + "=" + "{:.3f}".format(bestMeanPoint)

dataSet[:, featIndex] = [1 if x = bestMeanPoint else 0 for x in dataSet[:, featIndex]]

return dataSet, featName

重新对数据进行离散化，并重复该步骤1000次，同时用sklearn中的DecisionTreeClassifier对相同数据进行分类，分别统计平均准确率。运行代码如下:

from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier

import matplotlib.pyplot as plt

scoreL = []

scoreL_sk = []

for i in range(1000): #对该过程进行1000次

featNames = iris.feature_names[:]

trainData, testData = train_test_split(data) #区分测试集和训练集

trainData_tmp = copy.copy(trainData)

testData_tmp = copy.copy(testData)

discritizationData, discritizationFeatName= dataDiscretization(trainData, featNames) #根据信息增益离散化

for i in range(testData.shape[1]-1): #根据测试集的区分点离散化训练集

splitPoint = float(discritizationFeatName[i].split('=')[-1])

testData[:, i] = [1 if x=splitPoint else 0 for x in testData[:, i]]

decisionTree = creatDecisionTree(trainData, featNames)

classifyLable = [classify(decisionTree, featNames, td) for td in testData]

scoreL.append(1.0 * sum(classifyLable == testData[:, -1]) / len(classifyLable))

clf = DecisionTreeClassifier('entropy')

clf.fit(trainData[:, :-1], trainData[:, -1])

clf.predict(testData[:, :-1])

scoreL_sk.append(clf.score(testData[:, :-1], testData[:, -1]))

print 'score: ', np.mean(scoreL)

print 'score-sk: ', np.mean(scoreL_sk)

fig = plt.figure(figsize=(10, 4))

plt.subplot(1,2,1)

pd.Series(scoreL).hist(grid=False, bins=10)

plt.subplot(1,2,2)

pd.Series(scoreL_sk).hist(grid=False, bins=10)

plt.show()

两者准确率分别为：

score: 0.7037894736842105

score-sk: 0.7044736842105263

准确率分布如下：

两者的结果非常一样。

（但是。。为什么根据信息熵离散化得到的准确率比直接用均值离散化的准确率还要低啊？？哇的哭出声。。）

最后一次决策树图形如下：

决策树剪枝

由于决策树是完全依照训练集生成的，有可能会有过拟合现象，因此一般会对生成的决策树进行剪枝。常用的是通过决策树损失函数剪枝，决策树损失函数表示为:

C a ( T ) = ∑ t = 1 T N t H t ( T ) + α ∣ T ∣ C_a(T) = \sum_{t=1}^TN_tH_t(T) +\alpha|T|

(T)=

t=1

∑

(T)+α∣T∣

其中，H t ( T ) H_t(T)H

(T)表示叶子节点t的熵值，T表示决策树的深度。前项∑ t = 1 T N t H t ( T ) \sum_{t=1}^TN_tH_t(T)∑

t=1

(T)是决策树的经验损失函数当随着T的增加，该节点被不停的划分的时候，熵值可以达到最小，然而T的增加会使后项的值增大。决策树损失函数要做的就是在两者之间进行平衡，使得该值最小。

对于决策树损失函数的理解，如何理解决策树的损失函数? - 陶轻松的回答 - 知乎这个回答写得挺好，可以按照答主的思路理解一下

C4.5算法

ID3算法通过信息增益来进行特征选择会有一个比较明显的缺点：即在选择的过程中该算法会优先选择类别较多的属性（这些属性的不确定性小，条件熵小，因此信息增益会大），另外，ID3算法无法解决当每个特征属性中每个分类都只有一个样本的情况（此时每个属性的条件熵都为0）。

C4.5算法ID3算法的改进，它不是依据信息增益进行特征选择，而是依据信息增益率，它添加了特征分裂信息作为惩罚项。定义分裂信息：

S p l i t I n f o ( X , Y ) = − ∑ i n ∣ X i ∣ ∣ X ∣ log ⁡ ∣ X i ∣ ∣ X ∣ SplitInfo(X, Y) =-\sum_i^n\frac{|X_i|}{|X|}\log\frac{|X_i|}{|X|}

SplitInfo(X,Y)=−

∑

∣X∣

∣X

∣

log

∣X∣

∣X

∣

则信息增益率为：

G a i n R a t i o ( X , Y ) = d ( X , Y ) S p l i t I n f o ( X , Y ) GainRatio(X,Y)=\frac{d(X,Y)}{SplitInfo(X, Y)}

GainRatio(X,Y)=

SplitInfo(X,Y)

d(X,Y)

关于ID3和C4.5算法

在学习分类回归决策树算法时，看了不少的资料和博客。关于这两个算法，ID3算法是最早的分类算法，这个算法刚出生的时候其实带有很多缺陷：

无法处理连续性特征数据

特征选取会倾向于分类较多的特征

没有解决过拟合的问题

没有解决缺失值的问题

即该算法出生时是没有带有连续特征离散化、剪枝等步骤的。C4.5作为ID3的改进版本弥补列ID3算法不少的缺陷：

通过信息最大增益的标准离散化连续的特征数据

在选择特征是标准从“最大信息增益”改为“最大信息增益率”

通过加入正则项系数对决策树进行剪枝

对缺失值的处理体现在两个方面：特征选择和生成决策树。初始条件下对每个样本的权重置为1。

特征选择：在选取最优特征时，计算出每个特征的信息增益后，需要乘以一个**“非缺失值样本权重占总样本权重的比例”**作为系数来对比每个特征信息增益的大小

生成决策树：在生成决策树时，对于缺失的样本我们按照一定比例把它归属到每个特征值中，比例为该特征每一个特征值占非缺失数据的比重

关于C4.5和CART回归树

作为ID3的改进版本，C4.5克服了许多缺陷，但是它自身还是存在不少问题：

C4.5的熵运算中涉及了对数运算，在数据量大的时候效率非常低。

C4.5的剪枝过于简单

C4.5只能用于分类运算不能用于回归

当特征有多个特征值是C4.5生成多叉树会使树的深度加深

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原文链接：

机器学习中的损失函数

损失函数（loss function）是用来估量你模型的预测值f(x)与真实值Y的不一致程度，它是一个非负实值函数,通常使用L(Y, f(x))来表示，损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数重要组成部分。模型的结构风险函数包括了经验风险项和正则项，通常可以表示成如下式子：

其中，前面的均值函数表示的是经验风险函数，L代表的是损失函数，后面的是正则化项（regularizer）或者叫惩罚项（penalty term），它可以是L1，也可以是L2，或者其他的正则函数。整个式子表示的意思是找到使目标函数最小时的值。下面主要列出几种常见的损失函数。

一、log对数损失函数（逻辑回归）

有些人可能觉得逻辑回归的损失函数就是平方损失，其实并不是。平方损失函数可以通过线性回归在假设样本是高斯分布的条件下推导得到，而逻辑回归得到的并不是平方损失。在逻辑回归的推导中，它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等等。而逻辑回归并没有求似然函数的极值，而是把极大化当做是一种思想，进而推导出它的经验风险函数为：最小化负的似然函数（即max F(y, f(x)) —- min -F(y, f(x)))。从损失函数的视角来看，它就成了log损失函数了。

log损失函数的标准形式：

逻辑回归的P(Y=y|x)表达式如下：P(Y=y|x)=11+exp(?yf(x))P(Y=y|x)=11+exp(?yf(x))

将它带入到上式，通过推导可以得到logistic的损失函数表达式，如下：

L(y,P(Y=y|x))=log(1+exp(?yf(x)))L(y,P(Y=y|x))=log?(1+exp(?yf(x)))

逻辑回归最后得到的目标式子如下：

如果是二分类的话，则m值等于2，如果是多分类，m就是相应的类别总个数。这里需要解释一下：之所以有人认为逻辑回归是平方损失，是因为在使用梯度下降来求最优解的时候，它的迭代式子与平方损失求导后的式子非常相似，从而给人一种直观上的错觉。

这里有个PDF可以参考一下：Lecture 6: logistic regression.pdf.

二、平方损失函数（最小二乘法, Ordinary Least Squares ）

最小二乘法是线性回归的一种，OLS将问题转化成了一个凸优化问题。在线性回归中，它假设样本和噪声都服从高斯分布（为什么假设成高斯分布呢？其实这里隐藏了一个小知识点，就是中心极限定理，可以参考【central limit theorem】），最后通过极大似然估计（MLE）可以推导出最小二乘式子。最小二乘的基本原则是：最优拟合直线应该是使各点到回归直线的距离和最小的直线，即平方和最小。换言之，OLS是基于距离的，而这个距离就是我们用的最多的欧几里得距离。为什么它会选择使用欧式距离作为误差度量呢（即Mean squared error， MSE），主要有以下几个原因：

简单，计算方便；

欧氏距离是一种很好的相似性度量标准；

在不同的表示域变换后特征性质不变。

平方损失（Square loss）的标准形式如下：

(Y,f(X))=(Y?f(X))2L(Y,f(X))=(Y?f(X))2

当样本个数为n时，此时的损失函数变为：

Y-f(X)表示的是残差，整个式子表示的是残差的平方和，而我们的目的就是最小化这个目标函数值（注：该式子未加入正则项），也就是最小化残差的平方和（residual sum of squares，RSS）。

而在实际应用中，通常会使用均方差（MSE）作为一项衡量指标，公式如下：

MSE=1n∑i=1n(Yi~?Yi)2MSE=1n∑i=1n(Yi~?Yi)2

上面提到了线性回归，这里额外补充一句，我们通常说的线性有两种情况，一种是因变量y是自变量x的线性函数，一种是因变量y是参数的线性函数。在机器学习中，通常指的都是后一种情况。

三、指数损失函数（Adaboost）

学过Adaboost算法的人都知道，它是前向分步加法算法的特例，是一个加和模型，损失函数就是指数函数。在Adaboost中，经过m此迭代之后，可以得到:

Adaboost每次迭代时的目的是为了找到最小化下列式子时的参数和G：

而指数损失函数(exp-loss）的标准形式如下

可以看出，Adaboost的目标式子就是指数损失，在给定n个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：

关于Adaboost的推导，可以参考Wikipedia：AdaBoost或者《统计学习方法》P145.

四、Hinge损失函数（SVM）

在机器学习算法中，hinge损失函数和SVM是息息相关的。在线性支持向量机中，最优化问题可以等价于下列式子：

下面来对式子做个变形，令：

于是，原式就变成了：

如若取，式子就可以表示成：

可以看出，该式子与下式非常相似：

前半部分中的就是hinge损失函数，而后面相当于L2正则项。

Hinge 损失函数的标准形式

可以看出，当|y|=1时，L(y)=0。

交叉熵损失函数是什么？

平滑函数。

交叉熵损失函数，也称为对数损失或者logistic损失。当模型产生了预测值之后，将对类别的预测概率与真实值（由0或1组成）进行不比较，计算所产生的损失，然后基于此损失设置对数形式的惩罚项。

在神经网络中，所使用的Softmax函数是连续可导函数，这使得可以计算出损失函数相对于神经网络中每个权重的导数（在《机器学习数学基础》中有对此的完整推导过程和案例，这样就可以相应地调整模型的权重以最小化损失函数。

扩展资料：

注意事项：

当预测类别为二分类时，交叉熵损失函数的计算公式如下图，其中y是真实类别（值为0或1），p是预测类别的概率（值为0~1之间的小数）。

计算二分类的交叉熵损失函数的python代码如下图，其中esp是一个极小值，第五行代码clip的目的是保证预测概率的值在0~1之间，输出的损失值数组求和后，就是损失函数最后的返回值。

参考资料来源：百度百科-交叉熵

参考资料来源：百度百科-损失函数

常见的损失函数

MSE也称为L2 loss：

随着预测与真实值的绝对误差的增加，均方差损失呈二次方增加。

Huber Loss将L1和L2结合起来，也被称做smoothed L1 Loss。增加了一个需要额外设置的超参数，来控制L2和L1的连接位置。在误差接近0的时候使用L2，使损失函数可导，梯度更加稳定；误差较大的时候用L1，可以降低outlier带来的巨大误差的影响。

二分类中，通常使用Sigmoid函数将模型的输出压缩到(0, 1)区间。给定输入，模型判断为正类/负类的概率：

合并成一个：

取对数加负号之后，得到：

N是所有样本的数量。

图中曲线可以看出，当预测值越接近目标值损失越小，随着误差变差，损失呈现指数增长。

真实值现在是一个One-hot向量，Sigmoid换成了Softmax来把输出值压缩到(0, 1)之间，所有维度的输出和为1.

Softmax公式：

表示K个类别中的一个，k只在对应的类别上是1，其他时候是0。

于是上式可以改写成：

是样本的目标类。

分类问题中为什么不用MSE? 因为MSE假设了误差服从高斯分布，在分类任务下这个假设无法满足，因此效果会很差。

第二个论点是从信息论的角度来分析的，是关于由KL散度的角度来推导Cross Entropy的过程（原文）

是另一种二分类损失函数，适用于Maximum-margin的分类，SVM的损失函数就是hinge loss + L2正则化

下图为，当y为正类的时候( )，不同的输出对应的loss图

当y为正类时，模型输出负值会有很大的惩罚。即使输出为正值在(0, 1)区间，也还是会有一个较小的惩罚。也就是只有置信度高的才会有零损失。使用hinge loss直觉上的理解是要找到一个决策边界，使得素有数据点被这个边界正确地，高置信度地被分类。

同时hinge loss也反应了一点，对于那些已经可以被很好分类的样本，它不再对loss产生贡献，可以让模型花更多的energy去学习难以分类的样本。

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