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你需要知道在任意点多的一阶导数
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也就是已知f'(n)=g(n)
那么f(n)=∫g(n)dn
计算这个积分就可以了
本文归纳常见常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程数值解算例实现。
考虑常微分方程的解析解法，我们一般可以将其归纳为如下几类：
这类微分方程可以变形成如下形式：
两边同时积分即可解出函数，难点主要在于不定积分，是最简单的微分方程。
某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。
形如
的方程叫做一阶线性微分方程，若 为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法： (直接套公式)
伯努利方程
形如
的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：
令 , 方程两边同时乘以 ，得到
即 .
这就将伯努利方程归结为可以套公式的一阶线性微分方程。
形如
的方程称为二阶常系数微分方程，若 ，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。
求解此类方程分两步：
原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解
首先假设 .用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：
解的情况分为以下三种：
情况一：方程有两个不同的实数解
假设两个实数解分别是 , 此时方程的通解是
情况二：方程有一个二重解
假设该解等于 ，此时方程的通解是
情况三：方程有一对共轭复解
假设这对解是 , 此时方程的通解是
对于 和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：
形如
的方程叫做高阶常系数微分方程，若 ，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。
求解此类方程分两步：
原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解
考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题
问题一:两点边值问题的解析解
由于此方程是非齐次的,故 求解此类方程分两步：
原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解
首先假设 . 用特征方程法，写出对应的特征方程
求解得到两个不同的实数特征根: .
此时方程的齐次通解是
由于 . 所以非齐次特解形式为
将上式代入控制方程有
求解得: , 即非齐次特解为 .
原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解
于是,原方程的全解为
因为该问题给出的是第三类边界条件,故需要求解的导函数
且有
将以上各式代入边界条件
解此方程组可得: .
综上所述,原两点边值问题的解为
对一般的二阶微分方程边值问题
假定其解存在唯一,
为求解的近似值, 类似于前面的做法,
考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题
问题二:有限差分方法算出其数值解及误差
对于 原问题 ,取步长 h=0.2 ,用 有限差分 求其 近似解 ,并将结果与 精确解y(x)=-x-1 进行比较.
因为
先以将区间划分为5份为例，求出数值解
结果:
是不是解出数值解就完事了呢？当然不是。我们可以将问题的差分格式解与问题的真解进行比较，以得到解的可靠性。通过数学计算我们得到问题的真解为 ，现用范数来衡量误差的大小：
结果:
接下来绘图比较 时数值解与真解的差距：
结果:
将区间划分为 份, 即 时.
结果:
绘图比较 时数值解与真解的差距：
最后，我们还可以从数学的角度分析所采用的差分格式的一些性质。因为差分格式的误差为 ， 所以理论上来说网格每加密一倍，与真解的误差大致会缩小到原来的 . 下讨论网格加密时的变化：
结果：
打开python运行环境。
导入微分的模块包：from sympy import *。
定义符号变量：x = symbols('x')
定义一个函数：f = x**9
diff = diff(f,x)求导
最后输入diff，即可显示其变量值了。
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#coding:utf-8
#一阶导
def fun1(X, WINDOW = 5):
result = []
for k in range(WINDOW, len(X)-WINDOW):
mid = (X[k+WINDOW]-X[k-WINDOW])/(2*WINDOW)
result.append(mid)
return result
#二阶导
def fun2(X, WINDOW = 5):
result = []
for k in range(WINDOW, len(X)-WINDOW):
mid = (X[k+WINDOW]-2*X[k]+X[k-WINDOW])/(WINDOW*WINDOW)
result.append(mid)
return result
X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
result1 = fun1(X, 3)
result2 = fun2(X, 2)
如上自己写，或者用numpy自带的多项式的n阶导函数。
得到多项式的n阶导函数：多项式.deriv(m = n)
from numpy import *
X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
result = X.deriv(m = n) #n是导数阶数
解决"复杂的复合函数的值域"类型的数学题可以使用 Python 中的函数和第三方库来实现。
首先，需要确定所求函数的表达式，如 f(x) = (g(x) + h(x)) * cos(x)。
然后，使用 Python 中的 math 库中的函数来实现各个子函数，如 math.cos() 来实现 cos(x)。
接着，可以使用第三方库如 SymPy 来解函数的导函数，求函数的极值点等进阶运算。
最后，通过 Python 中的绘图库如 Matplotlib 来绘制函数图像，帮助理解函数的性质。
举个例子：
from sympy import *
x = symbols('x')
f = (sin(x) + cos(x)) * exp(x)
diff(f,x)
# 输出：exp(x)*(sin(x) + cos(x)) + (cos(x) - sin(x))*exp(x)
这是用sympy库第一步求导函数。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 100)
y = (np.sin(x) + np.cos(x)) * np.exp(x)
plt.plot(x, y)
plt.show()
这是绘制函数图像。
通过类似的方式，可以解决更多类似的问题。
