13518219792
计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树。通常子树的根被称作“左子树”（left
专注于为中小企业提供成都做网站、成都网站制作服务,电脑端+手机端+微信端的三站合一,更高效的管理,为中小企业金林免费做网站提供优质的服务。我们立足成都，凝聚了一批互联网行业人才，有力地推动了上1000+企业的稳健成长，帮助中小企业通过网站建设实现规模扩充和转变。
subtree）和“右子树”（right
subtree）。二叉树常被用作二叉查找树和二叉堆或是二叉排序树。
二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2的
i
-1次方个结点；深度为k的二叉树至多有2^(k)
-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数(即叶子结点数)为n0，度为2的结点数为n2，则n0
=
n2
+
1。
树是由一个或多个结点组成的有限集合，其中：
⒈必有一个特定的称为根(ROOT)的结点；
二叉树
⒉剩下的结点被分成n=0个互不相交的集合T1、T2、......Tn，而且，
这些集合的每一个又都是树。树T1、T2、......Tn被称作根的子树(Subtree)。
树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树
1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为2;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。除根结点外的分枝结点统称为内部结点。
2.树的深度——组成该树各结点的最大层次。
3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；
4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
树的表示
树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。如右图可写成如下形式：
二叉树
(a(
b(d,e),
c(
f(
,g(h,i)
),
)))
二叉树
1
2 3
4 5 6 7
这个二叉树的深度是3，树的深度是最大结点所在的层，这里是3.
应该计算所有结点层数，选择最大的那个。
根据上面的二叉树代码，递归过程是：
f(1)=f(2)+1 f(3) +1 ? f(2) + 1 : f(3) +1
f(2) 跟f(3)计算类似上面，要计算左右结点，然后取大者
所以计算顺序是f(4.left) = 0, f(4.right) = 0
f(4) = f(4.right) + 1 = 1
然后计算f(5.left) = 0,f(5.right) = 0
f(5) = f(5.right) + 1 =1
f(2) = f(5) + 1 =2
f(1.left) 计算完毕，计算f(1.right) f(3) 跟计算f(2)的过程一样。
得到f(3) = f(7) +1 = 2
f(1) = f(3) + 1 =3
if(depleftdepright){
return depleft+1;
}else{
return depright+1;
}
只有left大于right的时候采取left +1，相等是取right
若为空,则其深度为0,否则,其深度等于左子树和右子树的深度的最大值加1
二叉树具有以下重要性质：
性质1 二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i≥1)。
证明：用数学归纳法证明：
归纳基础：i=1时，有2i-1=20=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
归纳假设：假设对所有的j(1≤ji)命题成立，即第j层上至多有2j-1个结点，证明j=i时命题亦成立。
归纳步骤：根据归纳假设，第i-1层上至多有2i-2个结点。由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故第i层上的结点数至多是第i-1层上的最大结点数的2倍。即j=i时，该层上至多有2×2i-2=2i-1个结点，故命题成立。
性质2 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k≥1)。
证明：在具有相同深度的二叉树中，仅当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。因此利用性质1可得，深度为k的二叉树的结点数至多为：
20+21+…+2k-1=2k-1
故命题正确。
性质3 在任意-棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则no=n2+1。
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)应等于0度结点数、1度结点(记为n1)和2度结点数之和：
n=no+n1+n2 (式子1)
另一方面，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：
nl+2n2
树中只有根结点不是任何结点的孩子，故二叉树中的结点总数又可表示为：
n=n1+2n2+1 (式子2)
由式子1和式子2得到：
no=n2+1
满二叉树和完全二叉树是二叉树的两种特殊情形。
1、满二叉树(FullBinaryTree)
一棵深度为k且有2k-1个结点的二又树称为满二叉树。
满二叉树的特点：
（1） 每一层上的结点数都达到最大值。即对给定的高度，它是具有最多结点数的二叉树。
（2） 满二叉树中不存在度数为1的结点，每个分支结点均有两棵高度相同的子树，且树叶都在最下一层上。
图(a)是一个深度为4的满二叉树。
2、完全二叉树(Complete BinaryTree)
若一棵二叉树至多只有最下面的两层上结点的度数可以小于2，并且最下一层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树称为完全二叉树。
特点：
（1） 满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。
（2） 在满二叉树的最下一层上，从最右边开始连续删去若干结点后得到的二叉树仍然是一棵完全二叉树。
（3） 在完全二叉树中，若某个结点没有左孩子，则它一定没有右孩子，即该结点必是叶结点。
如图(c)中，结点F没有左孩子而有右孩子L，故它不是一棵完全二叉树。
图(b)是一棵完全二叉树。
性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为
证明：设所求完全二叉树的深度为k。由完全二叉树定义可得：
深度为k得完全二叉树的前k-1层是深度为k-1的满二叉树，一共有2k-1-1个结点。
由于完全二叉树深度为k，故第k层上还有若干个结点，因此该完全二叉树的结点个数：
n2k-1-1。
另一方面，由性质2可得：
n≤2k-1，
即：2k-1-ln≤2k-1
由此可推出：2k-1≤n2k，取对数后有：
k-1≤lgnk
又因k-1和k是相邻的两个整数，故有
,
由此即得：
注意：
的证明
